Paradox nekonečné hry

Úvod

V tomto textu popisuji úlohu, která se často objevuje v prních lekcích základních kurzů teorie pravděpodobnosti. Její popis je vcelku jednoduchý, při řešení je možné použít tabulkové geometrické rozdělení, jak také níže popíšu. Toto rozdělení je navíc diskrétní, což vyžaduje minimální míru abstrakce, narozdíl od rozdělení spojitých, jejichž pochopení je výrazně složitější.

Přes tuto jednoduchost působí studentům problém pochopit fakt, který zde popisuji jako paradox nekonečné hry. Tento paradox nepatří mezi klasické paradoxy z teorie pravděpodobnosti, či statistiky a nenajdete ho v literatuře. Objevil se sám při výuce.

I tak mi přijde důležité ho alespoň jednou pořádně rozebrat, aby bylo jasné jak funguje uvažování a analýza problému z pohledu pravděpodobnostního.

Popis hry

Dva přátelé se chtějí domluvit, kdo zaplatí večeři. Oba by rádi toho druhého pozvali. Chtějí použít minci, která by je férově rozsoudila. Jelikož není jasné, s jakou pravděpodobností padá hlava (panna) a s jakou orel, rozhodnou se, že budou házet v postupných kolech. V jednom kole si každý z přátel hodí mincí. Pokud v daném kole hodí to samé, skončilo kolo remízou a pokračuje se dál. Pokud ale hodí něco jiného, vyhrává ten, kdo hodil hlavu a hra končí.

Tuto hru chceme analyzovat a zjistit, s jakou pravděpodobností může vyhrát 1. nebo 2. hráč. Symetrie úlohy dává tušit, že pravděpodobnost výhry každého hráče je 1/2. Tato intuice stojí na dvou domněnkách. První domněnkou je, že díky už zmíněné "symetrii" je pravděpodobnost výhry obou hráčů stejná, t.j.

\[\mathbb{P}(\text{1. vyhraje})=\mathbb{P}(\text{2. vyhraje}).\]

Druhá domněnka je, že součet zmíněných pravděpodobností je jedna, neboli \[\mathbb{P}(\text{1. vyhraje})+\mathbb{P}(\text{2. vyhraje})=1.\]

Z toho už plyne, že pravděpodobnost výhry prvního či druhého hráče je vždy 50% (ovšem zmíněné domněnky bychom měli dokázat!).

Paradox nekonečné hry

My se zde zaměříme pouze na druhou domněnku, která vlastně říká, že naše hra _jistě_ skončí v nějakém kole výhrou jednoho z hráčů. Zde se ukáže následující paradox, který je vlastní mnoha problémům z teorie pravděpodobnosti:

• _Logika:_ Pokud zvažujeme pouze logické principy hry, musíme zcela jistě připustit možnost nekonečné hry, taková smolná nekonečná série stejných hodů _může nastat_
• _Pravděpodobnost:_ Z hlediska teorie pravděpodonosti, která jednotlivým možnostem umí přiřadit určité váhy (pravděpodobnosti) je ovšem váha (pravděpodobnost) takové nekonečné série hodů nula, což z hlediska pravděpodobnosti znamená, že tato možnost _jistě nenastane_.

Výpočet pravděpodobnosti nekonečné hry

Nejprve se přesvědčme, že má nekonečná hra opravdu nulovou pravděpodobnost. Označme symbolem $V$ jev, že hra někdy skončí a pomocí $V_{n}$ jev, že skončí přesně v $n$-tém kole. Dále označme pravděpodobnost toho, že padne hlava jako $p$ a pravděpodobnost, že hráči v daném kole hodí stejnou hodnotu jako $q$. Platí několik důležitých věcí: jevy $V_{n}$, $n=1,2,\ldots$, tvoří rozklad jevu $V$, tj. jsou navzájem disjunktní a jejich sjednocením je jev $V$. Jev $V_{n}$ nastane právě tehdy, když ve vzájemně nezávislých kolech hodí nejprve hráči $n-1$ krát stejnou stranu mince a potom hodí rozdílné strany. Můžeme tedy psát, že

\[\mathbb{P}(V)=\sum^{\infty}_{n=1} \mathbb{P}(V_{n})=\sum^{\infty}_{n=1} q^{n-1}(1-q)=1.\]

Poslední rovnost vyplývá z tabulkového vzorečku $S=\frac{a_{1}}{1-q}$ pro geometrickou řadu (*zde se dopouštíme drobného podvodu, který je vysvětlen později*).

Pravděpodobnost, že hra nikdy neskončí je potom dána takto:

\[\mathbb{P}(V^{c})=1-\mathbb{P}(V)=0. \]

Pravděpodobnost versus Logika

Zrekapitulujme si kroky, které činíme při pravděpodobnostní analýze problému. Jednotlivé možné průběhy hry, považujeme za jevy. S ohledem na zadání úlohy, přiřadíme některým základním jevům jejich pravděpodobnost a zároveň ze zadání odvodíme principy, pomocí nichž můžeme dopočítat pravděpodobnost složitějších jevů. V našem případě přiřazujeme jevům, že hráč hodí v $K$-tém kole hlavu, stejnou pravděpodobnost $p$. Nezávislost jednotlivých hodů je potom ten princip, který nám stačí k tomu, abychom dopočetli pravděpodobnost složitějších jevů, jako je shoda hráčů v $K$-tém kole, konec hry v $K$-tém kole atp.

Jinými slovy, pomocí pravděpodobnostního modelu ohodnotíme všechny "logické" možnosti číslem, které udává pravděpodobnost dané možnosti. Tím dodáme jemnější informaci a na základě této informace činíme závěry. Aplikujeme tedy jiný pohled na skutečnost. Možnost, která má pravděpodobnost nula, prohlásíme za nemožnou. Neboli ji ignorujeme, protože má zcela zanedbatelnou váhu. Mohli bychom říci, že se oproti "tvrdé" logice dopouštíme omylu, který má ovšem zcela zanedbatelné "nulové" důsledky. Tento paradox pak spadá spíše do filosofie a jde o to, jakou optikou vnímáme svět. My se už do dalšího filosofování pouštět nebudeme. Závěrem si uvědomme, jak v praxi nasazujeme pravděpodobnostní analýzu:

• způsobem, který považujeme za odpovídající realitě, ohodnotíme jednotlivé možnosti číslem, tj. pravděpodobností
• mimo jiné, _ohodnotíme, tj. zahrneme do našeho modelu,_ i možnost nekonečné hry, konkrétně jev $V^{c}$
• spočteme, že nekonečná hra má nulovou pravděpodobnost a označíme tento jev za jev _nemožný_ (z hlediska našeho pravděpodobnostního modelu)
• v dalších analýzách, v rámci našeho pravděpodobnostního modelu reality, proto můžeme jev $V^{c}$ zanedbávát, aniž bychom se dopouštěli chyby. Tím de facto zpětně vylučujeme tento jev z modelu.

Poznamenejme, že v případě spojitých náhodných veličin je třeba být s oním zanedbáváním opatrný. To ale není případ tohoto zadání a vysvětlení správných zásad výpočtů v případě spojitých náhodných veličin je mimo rámec tohoto textu.

Doplnění výpočtu pravděpodobnosti

Pro jednoduchost textu a jasné zaměření na výše zmíněný paradox, jsme trochu odflákli výpočet pravděpodobnosti nekonečné hry a to konkrétně rozbor situace $q=1$. Pokud pravděpodobnost shody v daném kole je menší než 1, pak náš postup v části 2.1 je v pořádku. Pokud je ale $q=1$, pak dostáváme sumu

\[\mathbb{P}(V)=\sum^{\infty}_{n=1} 1^{n-1}(1-1)=\sum^{\infty}_{n=1}0=0.\]

Zde nemůžeme mluvit o geometrické řadě a počítat její součet vzorečkem. Naopak jsme přímo dosadili $q=1$ a dostali pravděpodobnost konečné hry rovnou nule, tj. pravděpodobnost nekonečné hry rovnou 1.

Čemu odpovídá $q=1$? Pravděpodobnost shody je pravděpodobnost, že oba hodí hlavu, nebo oba hodí orla, $q=p^{2}+(1-p)^{2}$. Pokud budeme analyzovat tento výraz jako kvadratickou funkci pro proměnnou $p$, zjistíme lehce, že $q=1$ tehdy a jen tehdy když je $p=1$ nebo $p=0$. První případ odpovídá tomu, že na minci padá stále hlava a druhý případ odpovídá tomu, že stále padá orel. S takovou mincí opravdu nelze skončit v konečném kole. Tedy jistotu _konečné hry_ máme "jen" v případě, že mince je "rozumná", tedy, že hlava i orel mají nenulovou pravděpodobnost.

Geometrické rozdělení

Ti, co znají pojem náhodné veličiny se při analýze problému nekonečné hry odkáží na známé rozdělení. Náhodnou veličinu $X$ zadefinujeme jako počet kol, které hráči sehrají, než jeden z nich zvítězí. Jelikož jevy $V_n$ odpovídají jevům $X=n$, dostáváme že \[\mathbb{P}(X=n)=q^{n-1}(1-q).\]

V tom lze poznat geometrické rozdělení s parametrem $1-q$ (opět za předpokladu, že $0<q<1$).

Ovšem fakt, že se opravdu jedná o korektně definované rozdělení náhodné veličiny, se opírá právě o předpoklad, že součet pravděpodobností všech možných hodnot $n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$, je jedna. A to je přesně to, co jsme v předešlých výpočtech dokázali.

---

Tento článek byl vznikl v rámci řešení projektu Institucionální podpora Českého vysokého učení technického v Praze (CZ.02.2.69/0.0/0.0/16_015/0002382).

---